Jaroslav Mráz začal hrát národní házenou v Poděbradech, po druhé světové válce se přestěhoval do Prahy a pustil se mezinárodní házené v Bohemians Praha. V roce 1960 převzal druhý ligový tým Slavii Praha, s níž po roce postoupil do první ligy. Mužstvo z pražského Edenu bylo překvapením ligy, na jeho zápasy chodilo až 2500 diváků.

V roce 1961 se Jaroslav Mráz stal spolu s Ladislavem Šestákem trenérem národního družstva, za který mimo jiné nastupovali Jiří Vícha, Josef Trojan, Vojtěch Mareš, Rudolf Havlík, František Heřman, Václav Duda, proti kterým ještě nedávno hrál.

Mráz se Šestákem dostali pro hráče „úkol“: Vyhrát domácí mistrovství světa 1964 v Praze. 

Ještě před samotným šampionátem zkomplikoval situaci incident při ligovém utkání Tatran Prešov – Dukla Praha. Rozvášnění fanoušci zmlátili deštníky rozhodčího, kterým byl předseda svazu házené František Boček. Ladislav Šesták následně skončil jako reprezentační trenér, Jaroslav Mráz se stal hlavním koučem, asistenta mu dělal Bedřich König.

Československý tým doplatil při šampionátu na „pakt“ Rumunů se Švédy. Kdy semifinálový duel Československo – Rumunsko pískal právě švédský sudí Janersta. Po jeho sporných rozhodnutích, proti kterým téměř bez přestání bouřila vyprodaná Sportovní hala s osmnácti tisíci diváky, prohráli Čechoslováci 15:16. Ti nakonec skončili třetí, ve finále se utkali Rumunsko a Švédsko. Po šampionátu se Jaroslav Mráz setkal se zajímavými reakcemi, kdy ho lidé zastavovali na ulicích a říkali mu: „Nevadí, že jste nevybojovali titul, hlavně, že jste porazili Rusáky!“

Jaroslav Mráz musel u reprezentace skončit v roce 1966, kdy mu jeho tehdejší zaměstnavatel Fakulta tělesné výchovy a sportu Univerzity Karlovy, neumožnila další působení u národního týmu. 

Po osmileté trenérské činnosti ve Slavii a pětileté u reprezentace, odešel Jaroslav Mráz roce 1968 trénovat národní družstvo mužů, žen a juniorů do Nizozemska. Působil tam též jako vedoucí lektor na univerzitní trenérské škole.

Později vedl také československou reprezentaci žen, trénoval muže v Dietzenbachu, Forstu Brixen a Wampumu Teramo. Pracoval v technické komisi IHF a EHF, kde jako lektor přednášel metodiku házené, o které psal knihy.

Na zdraví!